0 基础知识：Homography

矢量是点，矩阵是二次曲线。

射影空间 $\mathbb{P}^2$

直线的齐次表示 $\mathbf{l}=(a,b,c)^T$

点的齐次表示 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T$

直线的交点 $\mathbf{x=l \times l^{\prime}}$

点的连线 $\mathbf{l=x \times x^{\prime}}$

无穷远点 $(x_1,x_2,0)^T$

无穷远线 $\mathbf{I}_{\infty}=(0,0,1)^T$

对偶原理：点与线

五点定义一条(点)二次曲线 $\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0$

二次曲线的切线 $\mathbf{l}=C\mathbf{x}$

对偶(线)二次曲线 $\mathbf{l}^TC^{*}\mathbf{l}=0$

$C^*$是$C$的伴随矩阵

齐次矩阵 8 dof

射影变换或单应 (Homography) $h: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2 \Leftrightarrow h(\mathbf{x})=H\mathbf{x}$

直线的变换 $\mathbf{l}^{\prime}=H^{-T}\mathbf{l}$

二次曲线的变换 $C^{\prime}=H^{-T}CH^{-1}, C^{\prime}=HC^{}H^{T}$

射影线性群 $PL(3)$

不变量

等距变换 3 dof

相似变换 4 dof

仿射变换 6 dof

射影变换 8 dof

1 单视图几何：Camera Matrix

2 两视图几何：Fundamental Matrix

3 三视图几何：Trifocal Tensor

4 N视图几何：Quadrifocal Tensor